Bower, który nosił przydomek "Chiński mur", miał ciekawą karierę. W rozgrywkach NHL zadebiutował dopiero w wieku 29 lat, spędzając wcześniej 13 lat w niższych ligach. W elicie występował do 45. roku życia, zakończył karierę w 1970 roku.

Najpierw bronił w New York Rangers, a potem przez ponad dekadę reprezentował Toronto Maple Leafs. W barwach tej drużyny sięgnął po Puchar Stanleya w latach 1962-64 i sezonie 1966/67.

Dwukrotnie Bower został wybrany najlepszym bramkarze NHL (1960/1961 i 1964/1965), zaś w Galerii Sław znalazł się w 1976 roku. Jego nazwisko figuruje również wśród 100 najlepszych zawodników ligi.

Bower był jedynym chłopcem wśród dziewięciorga rodzeństwa w rodzinie pochodzącej z Saskatchewan. W 1940 roku skłamał podając swój wiek (stwierdził, że akt urodzenia spłonął) i w wieku 16 lat pojechał na drugą wojnę światową. Stacjonował w Anglii, lecz ze względów zdrowotnych nie brał udziału w działaniach zbrojnych. Do Kanady wrócił w 1943 roku.