Zjawiński jest doskonale znany na Mazowszu. Pierwsze piłkarskie kroki stawiał w Ożarowiance Ożarów Mazowiecki, następnie występował w CWKS Legia Warszawa, Legionovii Legionowo, Legii (mistrzostwo w 2006 roku), Odrze Wodzisław Śląski, Świcie Nowy Dwór Mazowiecki, Dolcanie Ząbki, Cracovii i ostatnio Arce Gdynia. Jego ekstraklasowy dorobek to 85 spotkań i 6 bramek (jesienią – 15/2).

Po sezonie 2013-14 odchodził z I-ligowego Dolcanu do Cracovii w glorii króla strzelców zaplecza ekstraklasy. Zdobył wtedy 21 bramek.

Zjawiński dał się we znaki kibicom Pogoni w meczu II ligi wschodniej w 2011 roku. Napastnik – grający wówczas w barwach Świtu – pojawił się wówczas na placu gry po godzinie, ale zdążył dwukrotnie pokonać Pawła Nerka. Ostatecznie Pogoń przegrała 0:3.

Pogoń związała się z nowym napastnikiem do końca sezonu. W kontrakcie została zawarta opcja przedłużenia. Zjawiński będzie występował z numerem 9 na koszulce.